Icosaesdro

Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de diecinueve lados o menos. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro

Dado un Icosaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

$V=frac{5}{12} left(3+ sqrt{5} right) cdot a^3$
(Aproximadamente 2,18·a³)

Y el área total de sus caras A (que es 20 veces el área de una de ellas, A_c), mediante:

$A=20 cdot A_c=20 cdot frac{sqrt{3}}{4} cdot a^2 = 5 sqrt{3} cdot a^2$
(Aproximadamente 8,66·a²)

Desarrollo del icosaedro:

Grupo	Sólidos platónicos
Número de caras	20
Polígonos que forman las caras	Triángulos equiláteros
Número de aristas	30
Número de vértices	12
Caras concurrentes en cada vértice	5
Vértices contenidos en cada cara	3
Símbolo de Schläfli	{3,5}
Símbolo de Wythoff	5 \| 2 3
Índices de referencia	U₂₂, C₂₅, W₄
Acrónimo de Bowers	Ike
Grupo de simetría	Icosaédrico (I_h)
Poliedro conjugado	Dodecaedro
Propiedades	Deltaedro regular convexo
Ángulo diedro	138,189685°

Proporciones áureas en el icosaedro

En el icosaedro podemos encontrar varias veces el número áureo. En la imagen de la izquierda se pueden apreciar algunas proporciones áureas presentes en el icosaedro:

CD/AB = φ; EG/FG = φ

AD/GD = φ; KH/IK = φ

GD/AG = φ; BN/MN = φ

CL/CI = φ; AH/GN = φ

MN/BM = φ; BM/BF = φ

FG/EF = φ; BF/FM = φ

IK/HI = φ; GD/MD = φ

CI/LI = φ; MD/GM = φ

BC/CG = φ; CG/GB = φ

Simetría

Un icosaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que unen los vértices opuestos; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado I_h según la notación de Schöenflies.

El icosaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen los baricentros de cada par de caras opuestas.

Subdividiendo cada cara del icosaedro en triángulos se pueden construir domos geodésicos.